This content has been downloaded from iopscience. Please scroll down to see the full text



Baixar 3.22 Mb.
Pdf preview
Encontro19.03.2022
Tamanho3.22 Mb.
#22126
Souza dos Santos 2015 J. Phys.: Conf. Ser. 641 012004


This content has been downloaded from IOPscience. Please scroll down to see the full text.
Download details:
IP Address: 201.75.170.223
This content was downloaded on 06/01/2017 at 19:00
Please note that terms and conditions apply.
Stability solutions of a dumbbell-like system in an elliptical orbit
View the table of contents for this issue, or go to the journal homepage for more
2015 J. Phys.: Conf. Ser. 641 012004
(http://iopscience.iop.org/1742-6596/641/1/012004)
Home
Search
Collections
Journals
About
Contact us
My IOPscience
You may also be interested in:
Designing Hybrid Nanoparticles: Design of ternary magneto-plasmonic nanoparticles
M Benelmekki
Designing Hybrid Nanoparticles: An introduction to nanoparticles and nanotechnology
M Benelmekki
Shape-controlled assembly of luminescent dumbbell-like CdTe–cystine nanocomposites
Haifeng Bao, Xiaoqiang Cui, Chang Ming Li et al.
Characteristic Configuration of Cis-2-butene Molecule on Pd(110) Determined by Scanning Tunneling
Microscopy
Yasuyuki Sainoo, Yousoo Kim, Hirokazu Fukidome et al.
Magnetic fields produced by rotating symmetrical bodies with homogeneous surface charge density
R Espejel-Morales, G Murguía-Romero, A Calles et al.
Adsorption and Electronic Structure of Sr and Ag Atoms on Graphite Surfaces: a First-Principles
Study
Luo Xiao-Feng, Fang Chao, Li Xin et al.
Nanostructure formation by O2+ ion sputtering of Si/SiGe heterostructures
G S Lau, E S Tok, R Liu et al.
Research on a novel magnetic fluid micro-pressure sensor
Jie Yao and Decai Li
Magnetic-plasmonic bifunctional CoO–Ag heterostructure nanoparticles
Jianhui Yang, Beibei Cao and Bin Liu


Stability solutions of a dumbbell-like system in an
elliptical orbit
Denilson Paulo Souza dos Santos
1
, Sim˜
ao Ant´
onio da Rocha e Brito
de Agui˜
a Morant
2
, Anna D. Guerman
3
, Alexander A. Burov
4
1−2−3
Centre for Mechanical and Aerospace Science and Technologies (C-MAST) –
UBI – Portugal.
1
Division of Space Mechanics and Control – INPE (National Institute for Space
Research) – S˜
ao Jos´
e dos Campos – SP, Brasil.
4
Dorodnotsyn Computing Center of the Russian Academy of Sciencies, Russia.
E-mail: denilson.paulo@gmail.com
Abstract.
A dumbbell-like system is analyzed, considering two mass points connected with a
massless and rigid tether with length variations, and the center of mass described by Keplerian
orbits. This kind of system, in a certain type of configuration, is a simple conceptualization
of the space elevator. The system motion is obtained with the Lagrangian Formulation in a
Central Gravitational Field, and the perturbations of motion are neglected. Laws of control
are considered for the angle of systems rotation around the center of mass. Those include
uniform rotations or no rotation at all. Stability conditions were obtained for the first case,
analyzing its neighborhood and using Floquet Theory. The results shown there are regions of
eccentricities were stability is found. Lastly, a dynamic numerical simulator was created, where
the implementation of the results could be tested. The dynamic behavior of the system showed
regular and chaotic properties.
1. Introduction
Researchers have been studying, since 1960th, the possibilities to control attitude motion of space
systems with variable mass distributions. Perturbations of motion can occur for several such
atmospheric drag, solar pressure, system deployment, n-body perturbations else which will not
be discussed here. It will be analyzed stability conditions inside solutions in Keplerian orbits for
a model for two-body tether systems in a Central Gravitational Field (Newtonian). The motions
equation will be written by Lagrangian formulation, explaining the Kinetic and Potential Energy,
considering the possibility to control the tether length or the angle of rotation around the center
of mass. Several authors studied attitude dynamics of TSS of different configurations. Two-body
and three-body systems have been mostly studied, but even tethered satellite constellations were
analyzed. In [1] the dynamics of three-body TSS were examined, with the cm (center of mass)
following a circular orbit. A. Burov, I. Kosenko and A. Guerman, [2] – [5], studied the dynamics
of a moon-anchored tether with a material point at its end, for variable tether length. The bi-
dimensional problem can be addressed as a simple model for the lunar elevator. In this problem,
some particular solutions of the motion equation are derived, choosing a specific control law for
the tether length and finding radial and oblique configurations for the system geometry, while
defining regions of stability and instability for each case.
XVII Colóquio Brasileiro de Dinâmica Orbital – CBDO
IOP Publishing
Journal of Physics: Conference Series 641 (2015) 012004
doi:10.1088/1742-6596/641/1/012004
Content from this work may be used under the terms of the
Creative Commons Attribution 3.0 licence
. Any further distribution
of this work must maintain attribution to the author(s) and the title of the work, journal citation and DOI.
Published under licence by IOP Publishing Ltd
1


2. Mathematical model of a two point tethered satellite system (TSS)
The main objective of this paper is to analyze equilibrium conditions for a two masses point
TSS in an elliptical orbit, where the local vertical of the system must be align with an inert axis
fixed on Earth. The model is a dumbbell-like system, with the two body connected with a rigid
and massless tether. The systems center of mass is described by a Keplerian orbit fixed on an
inert axis in primary bodys center [6].
Figure 1. Model of the satellite system
connected with tethers.
Figure
2.
Dumbbell-like
system
composed by a massless tether and two
mass points.
The simplifying scheme can be seen in Figure 2. Although the simplification is rough, since
the moment of inertia of a 3D system may not be aligned with the local vertical, it allows a
fundamental mission conceptualization. In this model, the position of the two masses point will
be described in order to the position of the center of mass (C), and the systems motion in an
elliptic orbit. The angles ν and ϕ represent the true anomaly and the angle between the tether
and ρ, respectively. ρ is the distance from E to C, l
1
and l
2
are the tether lengths from the mass
points m
1
and m
2
to C, respectively.
2.1. Positions of the system
This allows the model to be described by planar Keplerian motion:
ρ =
p
1 + e cos(ν)
(1)
where p is the focal parameter, e the eccentricity an ν the true anomaly. The system coordinates
are:

















x
0
= ρ cos(ν)
y
0
= ρ sin(ν)
x
1
= x
0
+ l
1
cos(ν + ϕ)
y
1
= y
0
+ l
1
sin(ν + ϕ)
x
2
= x
0
− l
2
cos(ν + ϕ)
y
2
= y
0
− l
2
sin(ν + ϕ)
(2)
XVII Colóquio Brasileiro de Dinâmica Orbital – CBDO
IOP Publishing
Journal of Physics: Conference Series 641 (2015) 012004
doi:10.1088/1742-6596/641/1/012004
2


where, x
0
and y
0
being the coordinates of the position of the center of mass, (~
r
0
); x
i
and y
i
being the coordinates of the position of the point mass i, (~
r
i
).



~
r
0
= (x
0
, y
0
)
~
r
1
= (x
1
, y
1
)
~
r
2
= (x
2
, y
2
)
(3)
2.2. Lagrange Equations of Motion
Lagrange equations of motion are known as differential equations of system motion in generalized
coordinates.
In fact, these Lagrange equations provide a simple way to obtain the system
positions in function of time. It was decided to choose the Lagrangian formulation because it
allows us to define the global positions of the system through Potential and Kinetic Energy and
in function of generalized coordinates, unlike the needs to define all the forces involved, as in
Newtonian formulation. The general formula of the Lagrange Equation is:
d
dt

∂L
∂ ˙
q
i


dL
dq
i
= Q
i
(4)
where L = T − V , q
i
is the generalized coordinate and Q
i
is the generalized force actuating in
the system. For the following analysis, the generalized coordinates are ϕ and l and the system
is only under the gravity-gradient. Defining ϕ or l allows to control the system, as can be seen
in [2]. It has been chosen to define ϕ and consecutively obtain the l behavior.
l


0
sin(2ϕ)(1 + ecos(ν))
3
+ 2p
3

ν + ¨
ϕ)

+ 4p
3
˙l( ˙ν + ˙ϕ) = 0
(5)
All these variables are time-related. For a more advantageous formulation, consider a timeless
relation, based only on general positions and given by the new independent variable true anomaly
ν [6]. Substituting all these variables it can be rearranged in:
(1 + e cos(ν))ϕ
00
+ 2

l
0
l
(1 + e cos(ν)) − e sin(ν)

ϕ
0
+ 1

+ 3 cos(ϕ) sin(ϕ) = 0
(6)
a well-known equation ([2] – [6]).
3. ϕ Control laws
At this stage, the Lagrange Equations of Motion were derived and control laws can now be
considered for ϕ or l. Opting for one is sufficient and convenient to know the system motion.
The chose to define over one or other parameter is arbitrary and, therefore, were chosen ϕ control
laws. The tether length (l) is small compared to the orbit parameter (p). Two control laws for
the behavior of ϕ are presented: fixed angle and uniform rotations. Each case will be analyzed
independently.
3.1. Fixed Angle
The fixed angle (ϕ = ϕ
0
) for non-rotational motion about the center of mass, allows the satellite
to point its face (or antenna) through Earth, not rotating locally. This has practical and real-life
meaning, as GPS satellites, for instance, need to be pointing every time through Earth. This
control law (Eq. 6)can assume the following expression:
l
0
(ν)
l(ν)
=
e sin(ν)
1 + e cos(ν)

3 sin (2ϕ
0
)
4(1 + e cos(ν))
(7)
Chosen different ϕ
0
, the logarithmic behaviours of the tether are: (Figures 3 - 10).
XVII Colóquio Brasileiro de Dinâmica Orbital – CBDO
IOP Publishing
Journal of Physics: Conference Series 641 (2015) 012004
doi:10.1088/1742-6596/641/1/012004
3


Figure 3. Tether logarithmic ratio for
different eccentricities for ϕ
0
= 0.
Figure 4. Tether logarithmic ratio for
different eccentricities for ϕ
0
= 1.
Figure 5.
Tether logarithmic ratio
approximation comparison.
Figure 6. ϕ
0
= 3.
There are uniform solutions to values ϕ
0
=

2
(k is integer). For an analytical solution, an
approximation of 4th order using Taylor Series was also done allowing the integration of Eq. 7
showed in Figure 5, analyzed for various cases with different eccentricities.
3.2. Uniform Rotation
For uniform rotations, the control law can assume the following equation (ϕ = ων + ϕ
0
). This
relation means that the actual angle of rotation depends on the initial condition ϕ
0
, the variation
of ν and a constant ω. Equation 6 is rewritten
l
0
(ν)
l(ν)
=
e sin(ν)
1 + e cos(ν)

3 sin (2 (ων + ϕ
0
))
4(ω + 1)(e cos(ν) + 1)
(8)
The Eq. 8 allows to know the tether length for each ν. A numerical integration was done,
where ω and ϕ
0
were substituted previously. Also, for ω = −1 nothing can be analyzed since
the Eq. 8 has singularities around that point.
The monodromy matrix is used to analyze stability conditions around small oscillations (δϕ)
of ϕ. Replacing (ϕ = ων + δϕ) in Eq. (6) allows one obtain the nonlinear equation of perturbed
motion, and linearized equation constricts this analysis to small variations of ϕ.
(1 + e cos(ν))δϕ
00
+
3
2

2 cos(2ων)δϕ −
sin(2ων)δϕ
0
ω + 1

= 0
(9)
The Eq. 9 is the equation for the variations. It is now possible to analyze the stability
using the Floquet theory, the linearized equation constricts this analysis to small variations of
ϕ. Applying the Floquet theory, find the monodromy matrix for this system.
XVII Colóquio Brasileiro de Dinâmica Orbital – CBDO
IOP Publishing
Journal of Physics: Conference Series 641 (2015) 012004
doi:10.1088/1742-6596/641/1/012004
4


Figure 7. The control law for the tether
length for ϕ
0
= 0 and ω = 1.
Figure 8. The control law for the tether
length for ϕ
0
= 0 and ω = 2.
Figure 9. The control law for the tether
length for ϕ
0
= 0 and ω =
3
4
.
Figure 10.
The control law for the
tether length for ϕ
0
= 0 and ω =
5
3
.
Figure 11. The control law for the tether length for ϕ
0
= 0 and ω = −
3
4
.
XVII Colóquio Brasileiro de Dinâmica Orbital – CBDO
IOP Publishing
Journal of Physics: Conference Series 641 (2015) 012004
doi:10.1088/1742-6596/641/1/012004
5


Figure 12. The control law for the tether length for ϕ
0
= 0 and ω = −
5
4
.
Figure 13. The control law for the tether length for ϕ
0
=
π
2
and ω = 1.
4. Conclusion
Laws of control are considered for the angle of systems rotation around the center of mass. The
necessary conditions of stability for uniform rotations were analyzed using the Floquet Theory
analyzing the parameters ω and the eccentricity of the orbit, generating the control laws for the
tether length. Stability conditions give the values of e and ω where the system is stable. As
reported before, this means that small perturbations wont change the behavior of the system.
Stability is found for several values of eccentricity, as shown in stability curves for the parameter
ω. The uniform rotations of ϕ proved to have smooth tether variations, for every simulation
done. For the fixed angle analysis, there was only one value where ϕ behave properly, which
is ϕ
0
= 0. At last, the simulations should always be considered in an engineering study. They
allow to fully understand the dynamics of the system, and serve as a guide to future work. The
XVII Colóquio Brasileiro de Dinâmica Orbital – CBDO
IOP Publishing
Journal of Physics: Conference Series 641 (2015) 012004
doi:10.1088/1742-6596/641/1/012004
6


results obtained in the simulator were always expected.
Acknowledgments
This work was accomplished with the support of CAPES – Brazil, under Contract BEX 10689-
13-3, INPE – National Institute for Space Research – Brazil and Centre for Mechanical and
Aerospace Science and Technologies (C-MAST) – UBI Portugal.
References
[1] Misra, A. K., Z. Amier, and V. J. Modi. ”Attitude dynamics of three-body tethered systems.” Acta
Astronautica (1988):1059-1068.
[2] A.A. Burov and H. Troger, The relative equilibria of an orbital pendulum suspended on a tether, Journal of
Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 64, Issue 5, 2000b, pp. 723-728.
[3] A. Burov, O. I. Kononov, and A. D. Guerman, Relative equilibria of a Moon - tethered spacecraft,Advances
in the Astronautical Sciences, v. 136, 2011a, pp. 2553-2562.
[4] A. Burov and I.I. Kosenko, Plane oscillations of a body with variable mass distribution in an elliptic orbit,
Proc. of ENOC 2011, July 24-29, 2011b, Rome, Italy.
[5] A.A. Burov, I.I. Kosenko, and A. D. Guerman, Dynamics of a moon-anchored tether with variable length.
Advances in the Astronautical Sciences, 2012, Vol. 142, pp.3495-3507.
[6] Sim˜
ao Ant˜
onio da Rocha e Brito de Agui˜
a Morant. Space Tether Systems – Stability Solutions of a Dumbbell-
like System, Dissertation Master Engineering Aeronautical - UBI - Portugal 2013.
[7] Belestsky, Vladimir V.; Levin, Evgenii M., 1993. Dynamics of Space Tethers Systems. San Diego - California:
Advances in the Astronautical Sciences, Vol. 83 - American Astronautical Society ISSN 0-87703-370-6.
[8] M.P. Cartmell, D.J. McKenzie, A review of space tether research, Progress in Aerospace Sciences, Volume 44,
Issue 1, January 2008, Pages 1-21, ISSN 0376-0421, http://dx.doi.org/10.1016/j.paerosci.2007.08.002.
XVII Colóquio Brasileiro de Dinâmica Orbital – CBDO
IOP Publishing
Journal of Physics: Conference Series 641 (2015) 012004
doi:10.1088/1742-6596/641/1/012004
7

Baixar 3.22 Mb.

Compartilhe com seus amigos:




©historiapt.info 2022
enviar mensagem

    Página principal