Projeto de doutorado


As formas geométricas de Platão



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1.4 As formas geométricas de Platão 
 
 
Para Platão (428-347 a.C), reduzem-se a triângulos, eqüiláteros e isósceles, as estruturas 
fundamentais da natureza, pois a partir deles podem ser gerados os poliedros regulares e, com 
esses sólidos, todas as coisas conhecidas. 
 
                                                 
25
 VON BAYER, 1994, p. 152; LUCRÉCIO CARO, 1962, p. 60. 


Do átomo grego ao átomo de Bohr 
21 
 
 
Fig. 1.3 - Platão e Aristóteles, em detalhe do afresco “A escola de Atenas” de Rafael. Com 
rara beleza, mostra o contraste entre duas distintas visões de mundo. Apontando para 
cima, Platão destaca o mundo das formas ideais (matemáticas). Com a palma da mão 
voltada para baixo, Aristóteles sinaliza a sua preocupação e seu  interesse pelo mundo 
concreto  e material.
26
 
  
Assim, com dois triângulos retângulos isósceles, representa-se um quadrado; combinando-
se apropriadamente seis quadrados,  obtém-se um cubo. Cinco triângulos isósceles formam um 
pentágono regular; doze pentágonos regulares compõem o dodecaedro regular. Os outros três 
poliedros regulares, o tetraedro, o octaedro e o icosaedro possuem faces idênticas constituídas, 
respectivamente, por quatro, oito e vinte triângulos equiláteros.  
Desenvolvendo um raciocínio puramente matemático, que elege a forma geométrica como 
princípio orientador e diferenciador das coisas, Platão associa os elementos terra, água, ar e fogo, 
de Empédocles, a poliedros regulares: atribui a forma cúbica à menor partícula do elemento terra 
(Fig. 1.4); identifica como um icosaedro a menor partícula do elemento água (Fig. 1.5); associa o 
octaedro ao ar (Fig. 1.6) e o tetraedro ao fogo (Fig. 1.7). Não havendo um quinto elemento para 
estabelecer a sua correspondência com o dodecaedro (Fig. 1.8), Platão vincula este sólido, de 
alguma maneira, ao Universo.   
                                                 
26
 
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/plat_arist.htm 


1. Do átomo grego ao átomo de Dalton: um percurso através da história da física e da química 
22 
           
 
               
Fig. 1. 4 - Cubos regulares: corpúsculos de terra. 
 
        
 
 
 
Fig. 1.5 - Icosaedros regulares: corpúsculos de água. 
      
 
 
Fig. 1.6 - Octaedros regulares: corpúsculos de ar. 
 
           
     
 
 
Fig. 1.7 - Tetraedros regulares: corpúsculos de fogo. 
 
   
 
 
Fig. 1.8 - Dodecaedros regulares. 
 


Do átomo grego ao átomo de Bohr 
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Ao ler essas idéias de Platão no “Timeu”, Heisenberg, ainda estudante, mostra-se perplexo. 
Não se pode associar os triângulos elementares a qualquer tipo de matéria, é claro, pois são for-
mas bidimensionais. Mas, e quanto aos poliedros regulares? Estaria o cubo apenas simbolica-
mente ligado à terra, como uma expressão de sua solidez, por exemplo, ou, de fato, teria uma 
forma cúbica o menor corpúsculo de terra? Conforme esclarece Heisenberg: 
 
Busquei um princípio que pudesse ajudar-me a encontrar alguma justificativa para a especulação 
platônica, mas, por mais que tentasse, não consegui descobrir nenhum. Mesmo assim, fiquei extasiado 
com a idéia de que as partículas mais diminutas da matéria devessem reduzir-se a uma forma matemática. 
Afinal, qualquer tentativa de desenredar a densa trama dos fenômenos naturais dependia da descoberta de 
formas matemáticas; contudo, continuou a ser incompreensível para mim por que Platão escolhera os 
corpos regulares da geometria dos sólidos
.
27
 
 
Entre as dúvidas de Heisenberg fica uma certeza, expressa em suas próprias palavras: “O 
resultado mais importante de tudo isso talvez tenha sido a convicção de que, para interpretar o 
mundo natural, precisávamos saber alguma coisa sobre suas partes mais diminutas.”
28
É uma forma matemática, uma construção intelectual, e não efetivamente a matéria que 
está na raiz última de todos os processos a partir dos quais a natureza pode ser entendida. 
 
 
A teoria de Platão sobre a estrutura da matéria não é uma variante da hipótese atômica de 
Leucipo e Demócrito. Platão não é um atomista. A sua afirmativa de que, se pudesse, queimaria 
todos os livros dos atomistas, deixa isso claro. No entanto, mesmo que não admita, é inegável a 
força da escola atomista sobre suas idéias.  
Com uma perspicácia e originalidade sem precedentes, os atomistas estabeleceram como 
uma hipótese fundamental “que os não observáveis que postulamos para explicar as propriedades 
dos observáveis não precisam, eles mesmos, ter estas propriedades”
29
Platão deve ter intuído o valor científico dessa  idéia  “pois foi além, muito além, nesse 
mesmo caminho. Os indivisíveis de sua física eram ainda mais distantes da experiência sensorial: 
eles não eram nem ao menos corpos, mas apenas superfícies de ligação de corpos...”
. Por exemplo, a divisibili-
dade e a cor, atributos dos objetos acessíveis à percepção humana, não encontram análogos no 
domínio do intangível à visão humana.  
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A teoria de Platão sobre a estrutura da matéria não almeja reduzir, pura e simplesmente, a 
multiplicidade das formas indivisíveis de Demócrito a quatro poliedros regulares de terra, água, 
ar e fogo. Por serem indestrutíveis, os átomos de Demócrito mantêm inalteradas as suas formas. 
Isso não ocorre com os poliedros materiais de Platão. 

                                                 
27
 HEISENBERG, 1996, p. 17. 
28
 Id, p. 17. 
29
 VLASTOS, 1987, p. 48. 
30
 Id, p. 49. 


1. Do átomo grego ao átomo de Dalton: um percurso através da história da física e da química 
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O tetraedro, o octaedro e o icosaedro podem ser decompostos nos triângulos elementares 
que os constituem. A reorganização desses elementos possibilita a transformação de um tipo de 
matéria em outro.  
Assim, por exemplo, o ‘desmembramento’ de um icosaedro em três tetraedros (três corpús-
culos de fogo) e um octaedro (um corpúsculo de ar) ilustra fisicamente a ebulição da água, pois o 
produto desta transformação de estado é ar muito ‘quente’. 
Um icosaedro ‘desdobrado’ em um tetraedro e dois octaedros mostra um processo de va-
porização lenta, como é a evaporação, pois, neste caso, o ar resultante contrasta com o anterior 
por apresentar-se apenas ‘morno’. 
As interações entre os corpúsculos materiais de Platão envolvem contato físico direto entre 
eles. Não há nenhuma ação à distância.  
“Os corpúsculos de fogo cortam os corpúsculos de ar e de água, pois os ângulos sólidos 
dos tetraedros são menores –  portanto mais aguçados –  do que os dos octaedros ou icosaedros; 
por razões semelhantes os corpúsculos de ar cortam os corpúsculos de água.” Vê-se, aqui, “o ar se 
transformando em fogo e a água se transformando em fogo ou ar ou nos dois”.
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Nas transformações inversas, a ação de cortar é substituída pela de amassar, esmagar. Isso 
ocorre “quando uma pequena quantidade de fogo se envolve em uma massa maior de ar ou água, 
ou uma pequena quantidade de ar em uma massa maior de água; então, a massa maior aperta e 
esmaga os poliedros da menor”. Nesse caso, vê-se “fogo se transformando em ar ou em água ou 
em ambos, ou ar sendo transformado em água”.
 
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Em essência, essas são as idéias de Platão sobre a dinâmica dos processos no interior da 
matéria. 
 
 


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