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EM 3ano V3 PF
SEMANA 2
EIXO TEMÁTICO: 
Funções Elementares e Modelagem.
TEMA/TÓPICO: 
Funções – 43. Estudo de funções.
HABILIDADE(S):
43.1. Reconhecer funções definidas por partes em situações-problema.
CONTEÚDOS RELACIONADOS:
Introdução às funções. Domínio, contradomínio e imagem. Funções definidas por partes.
TEMA: Funções.
Uma FUNÇÃO é uma “regra” que associa um dado de entrada (input) a um dado de saída (output). Uma 
das melhores imagens de uma função é uma máquina real ou virtual. Vamos supor que você vai usar 
uma calculadora científica para calcular o valor da raiz quadrada do número 2. Isso significa que, dado 
o valor x = 2, devemos achar o valor de y usando a lei: =  . Porém, no conjunto dos números reais, só 
existe raiz quadrada de número não negativo. Vamos formalizar as ideias da seguinte maneira:
•  LEI da função é a “regra” que para cada associa um e somente um valor de y.
•  DOMÍNIO da função é o conjunto de valores de entrada permitidos para x.
•  CONTRADOMÍNIO da função é o conjunto de valores de saída possíveis para y.
•  IMAGEM da função é o conjunto de valores de saída resultantes para y, dentro do contradomínio.
Esta figura mostra diversas “visões” da função raiz quadrada:
Observe que a condição de que cada x produza um e somente um valor de y faz sentido. É como no caso 
da calculadora. Se for fornecido um x válido e não der um resultado, a função está com “defeito”. O mes-
mo se uma função, com o mesmo x, produzisse vários resultados y
 
distintos: outro “defeito”...


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Outra representação possível é o diagrama de Venn, mostrado na 
figura à direita. Observe a diferença entre contradomínio e ima-
gem. O contradomínio é o conjunto de todos os números reais, 
no sentido de que a raiz quadrada de um número real é um nú-
mero real. Mas a imagem é formada apenas pelos números reais 
não negativos, pois o resultado da raiz quadrada é não negativo.
Cuidado! Embora não seja mostrado no diagrama, o domínio 
contém também valores não inteiros, tais como: 
 etc. 
Assim, por exemplo: 
 também es-
tão no conjunto-imagem.
A notação padrão é a seguinte:
𝑓𝑓: 𝑅𝑅
$
→ 𝑅𝑅;  𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
 ou 
𝑓𝑓: 𝑅𝑅
$
→ 𝑅𝑅;  𝑥𝑥 ↦ 𝑥𝑥.
 Isto é, o conjunto que vem antes 
da seta   é o domínio e o conjunto que vem depois dessa seta é o contradomínio. A imagem (ou conjun-
to-imagem) não é dada explicitamente.
E o que acontece se for dada a lei da função, sem especificar o domínio ou o contradomínio? Assume-se 
que eles são os “maiores” subconjuntos possíveis do conjunto dos números reais. O contradomínio é o 
próprio R. O domínio é o maior possível tal que a lei da função faça sentido, isto é, tal que forneça um 
resultado. Por exemplo:
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥 − 1
𝑥𝑥 − 3 .
•  1ª condição de existência: para que a raiz quadrada exista, o que está dentro dela não pode ser 
negativo. Portanto:
𝑥𝑥 − 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥𝑥 ≥ 1
•  2ª condição de existência: o denominador não pode se anular. Portanto: 
𝑥𝑥 − 3 ≠ 0 ⇒ 𝑥𝑥 ≠ 3
.
Então o domínio da função acima é: 
𝐷𝐷 𝑓𝑓 = { 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 | 𝑥𝑥 ≥ 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ≠ 3 }
.
Um tipo de função interessante é a FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES. Nesse caso, em vez da função ter 
uma lei única, ela tem várias! Cada expressão corresponde a uma faixa do x. Por exemplo, suponhamos 
que uma concessionária de energia elétrica cobre uma taxa mínima de serviço de R$20,00, acrescida 
do valor correspondente ao consumo (vamos fazer a análise sem impostos). Porém o valor do quilowat-
t-hora varia de acordo com a faixa de consumo, da forma especificada a seguir.
•  Até 100 kWh: R$0,50 a unidade.
•  Mais de 100 até 200 kWh: R$0,60 a unidade.
•  Acima de 200 kWh: R$0,80 a unidade.
Matematicamente, sejam x o consumo (em kWh) y = f (x)e o valor da conta (em reais). Fica:


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