Modelagem computacional de um acelerador linear e da sala


Intervalo de erro relativo (R)



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Intervalo de erro relativo (R) 
Qualidade do resultado 
0,5 a 1,0 
Não significativo 
0,2 a 0,5 
Pouco significativo 
0,1 a 0,2 
Questionável 
< 0,1 
Geralmente confiável, exceto para 
detectores pontuais 
< 0,05 
Geralmente confiável para detectores 
pontuais 
 
Em  problemas  bem  modelados  e  executados  o  erro  relativo  deverá  ser 
proporcional a 
1 √𝑁

, onde N é o número de histórias. Portanto, para diminuir à metade 
o  erro  relativo  é  necessário  quadruplicar  o  número  de  histórias,  o  que  demandará  um 
custo  computacional  proporcionalmente  maior.  Para  obter  respostas  que  aliem  boa 
precisão  e  tempo  computacional  razoável  são  utilizadas  as  chamadas  técnicas  de 
redução  de  variância,  algumas  das  quais  serão  abordadas  adiante.  No  entanto,  para 
compreender o objetivo dessas técnicas, e por que elas são tão importantes, é necessário 
inicialmente tratar da grandeza variância no âmbito do código. 
 
2.5.3.9.   Redução de Variância 
 
Em  linhas  gerais,  em  uma  simulação  no  MCNP  busca-se  calcular  o  valor 
esperado  〈
𝑥〉  da  variável  aleatória  x.  A  probabilidade  de  que  uma  história  qualquer 
contribuirá com um score entre x e (dx) é denotada por p(x)dx, onde p(x) é a função 
de distribuição de probabilidade pra esse evento. Assim: 
 
〈𝑥〉 = ∫ 𝑥𝑝(𝑥)𝑑𝑥                                                       (2.4)

0
 


58 
 
A priori não se conhece p(x), então o código aproxima 〈
𝑥〉 pelo valor da média 
amostral 
𝑥̅ das contribuições obtidas a partir das N partículas simuladas. À medida que 
𝑁 → ∞, a lei forte dos grandes números garante que 𝑥̅ → 〈𝑥〉, dado que 〈𝑥〉 seja finito. 
𝑥̅ =
1
𝑁
∑ 𝑥
𝑖
                                                              (2.5)
𝑁
𝑖=1
 
 
A medida da variação das diferentes contribuições x
i
 é feita pelo desvio padrão, 
S,  das  contribuições  das  N  histórias.  Para  N  grande  o  suficiente  são  válidas  as 
expressões 2.6 e 2.7. 
 
𝑆
2
=
1
𝑁 − 1
∑(𝑥
𝑖
− 𝑥̅)
2
≅ 𝑥
2
̅̅̅ − 𝑥̅
2
𝑁
𝑖=1
                                         (2.6) 
 
𝑥
2
̅̅̅ =
1
𝑁
∑ 𝑥
𝑖
2
𝑁
𝑖=1
                                                         (2.7) 
 
A variância estimada do valor médio 
𝑥̅ será portanto: 
 
𝑆
𝑥̅
2
=
1
𝑁
𝑆
2
                                                             (2.8) 
 
De  acordo  com  o  teorema  do  limite  central  se  a  simulação  for  repetida  um 
número suficiente de vezes, cada uma com N histórias, a variação do valor médio 
𝑥̅ de 
cada  simulação  estará  distribuída  normalmente  ao  redor  do  valor  esperado  〈
𝑥〉  (média 
real) e terá variância 
𝑆
𝑥̅
2
. Essa é a variância que se busca reduzir no MCNP, ou seja, para 
um número fixado de partículas N deseja-se obter uma resposta com a menor incerteza 
possível, isto é, um mínimo 
𝑆
𝑥̅

Conforme já mencionado, o erro relativo é proporcional a 
1 √𝑁

, onde N é o 
número de histórias e obviamente o tempo computacional T também é proporcional a N
Portanto, pode-se afirmar que 
𝑅 = 𝐶 √𝑇

, onde C é uma constante de proporcionalidade 
positiva.  Vê-se  que  para  reduzir  R  deve-se  ou  aumentar  T  ou  reduzir  C.  A  primeira 
opção  sempre estará  condicionada ao  custo  computacional  e  ao tempo  disponível para 
execução  da  simulação.  Como  visto,  reduzir  à  metade  R  demandaria  multiplicar  por 


59 
 
quatro o tempo de simulação. Por esta razão foram desenvolvidas diversas técnicas de 
redução de variância para reduzir C. 
O  manual  do  programa  apresenta  uma  longa  lista  de  quatorze  técnicas  de 
redução  de  variância  disponíveis  ao  usuário,  as  quais  são  dividas  em  quatro  classes,  a 
saber: 
a)  Métodos  de  truncagem  (corte):  os  mais  simples,  consistindo  em  suprimir 
partes do espaço de amostragem consideradas irrelevantes para a obtenção da resposta 
desejada. Pode-se realizar cortes por posição, energia e tempo
 
b) Métodos  de  controle  de  população:  usam  a  divisão  ou  a  remoção  de 
partículas  para  controlar  a  quantidade  de  partículas  em  várias  regiões  do  espaço  de 
amostragem.  A  técnica  de  remoção  é  chamada  de  “roleta  russa”.  Em  regiões 
importantes  são  feitas  muitas  amostragens  de  partículas  com  pequeno  peso,  ao  passo 
que  em  regiões  menos  importantes  são  feitas  poucas  amostragens  de  partículas  com 
maior peso; 
 
c)  Métodos  de  amostragem  modificada:  alteram  a  amostragem  estatística  do 
problema de forma a aumentar o número de  tallies por partícula. No MCNP incluem a 
transformada exponencialcaptura implícitacolisões forçadasajuste da fonte (source 
biasing) e produção forçada de fotonêutrons
 
d) Métodos  parcialmente  determinísticos:  alteram  parte  do  acompanhamento 
probabilístico  normal  do  método  de  Monte  Carlo  utilizando  técnicas  determinísticas. 
Incluem os detectores pontuais, DXTRAN e amostragem correlata. 
 
As  técnicas  de  redução  de  variância,  se  usadas  corretamente,  podem  ser  a 
diferença  entre  tornar  ou  não  uma  simulação  viável  computacionalmente.  Usadas  de 
forma  equivocada  podem  não  melhorar  em  nada  o  problema,  ou  ainda  fornecer 
respostas  muito  precisas,  em  um  tempo  curto,  mas  radicalmente  erradas,  de  forma 
silenciosa.  É  necessário  experiência  e  cautela  para  utilizá-las  corretamente  e, 
principalmente,  realizar  testes  suficientes  para  se  certificar  de  que  o  programa  está 
calculando aquilo que efetivamente se deseja. Os manuais do programa oferecem todo o 
embasamento  teórico  necessário,  sintaxes  e  exemplos  apropriados  a  cada  tipo  de 
problema.  Transcrever  esse  conteúdo  para  o  texto  deste  trabalho  seria  inviável  e 
desnecessário.  Como  referências  sugere-se  as  publicações  de  BOOTH  (2004)  e 
OLSHER  (2006),  chanceladas  pela  equipe  de  desenvolvimento  do  MCNP,  que 
apresentam numerosos exemplos de como e quando usar cada tipo de técnica. 
Durante o desenvolvimento deste trabalho foram testadas e utilizadas diversas 
técnicas  de  redução  de  variância  diferentes,  nem  todas  fornecendo  resultados 
satisfatórios  por  ocasião  dos  testes,  sendo  por  isso  “deixadas  de  lado”.  As  técnicas 
utilizadas  e  que  surtiram  os  efeitos  desejados  (redução  do  erro  relativo)  foram  o 

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