Data Science do zero: Primeiras regras com o Python



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Data Science do zero - Primeiras regras
return sum(v_i ** 2 for v_i in v)
Com frequência, precisaremos maximizar (ou minimizar) tais funções. Ou seja,
precisamos encontrar a entrada v que produz o maior (ou menor) valor possível.
Para funções como a nossa, o gradiente (se você se lembra dos seus estudos de
cálculo, ele é o vetor das derivadas parciais) mostra a direção da entrada em que
a função cresce mais rapidamente. (Se você não se lembra dos seus estudos de
cálculo, acredite em mim ou procure na internet.)
Igualmente, uma abordagem para maximizar uma função é pegar um ponto de
início aleatório, computar o gradiente, andar um pequeno passo na direção do
gradiente (por exemplo, a direção que faz com que a função cresça mais), e
repetir com o novo ponto de início. Da mesma forma, você pode tentar
minimizar uma função ao andar poucos passos na direção oposta, como mostra a
Figura 8-1.


Figura 8-1. Encontrando uma mínima usando um gradiente descendente
Se uma função possui uma mínima global única, é provável que esse
procedimento a encontre. Se uma função possui mínimas múltiplas (locais), esse
procedimento talvez “encontre” a errada e, nesse caso, você talvez tenha que
retomar o procedimento a partir de vários pontos de início. Se uma função não
possui mínima, então é possível que o procedimento dure para sempre.


Estimando o Gradiente
Se
f
é uma função de uma variável, sua derivada em um ponto
x
indica como
f(x)
muda quando fazemos uma mudança bem pequena em
x
. É definida como o
limite de quocientes diferenciais:
def difference_quotient(f, x, h):
return (f(x + h) - f(x)) / h
conforme
h
se aproxima de zero.
(Muitos alunos de cálculo em potencial foram atrapalhados pela definição
matemática de limite. Aqui vamos trapacear e simplesmente dizer que ela
significa o que você acha que significa.)
Figura 8-2. Aproximando uma derivada com um quociente diferencial


A derivada é a inclinação da linha tangente em
(x, f(x))
, enquanto o quociente
diferencial é a inclinação da linha-não-tão-tangente que passa por
(x+h, f(x+h))
.
Conforme h vai ficando menor, a linha-não-tão-tangente chega cada vez mais
perto da linha tangente (Figura 8-2).
Para muitas funções é fácil calcular as derivadas com exatidão. Por exemplo, a
função
square
:

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