Componente curricular

5. (Famerp) Um trator trafega em linha reta por uma superfície plana e horizontal com velocidade escalar constante. Seus pneus, cujas dimensões estão indicadas na figura, rolam sobre a superfície sem escorregar.

Sabendo que os pneus dianteiros têm período de rotação igual a 0,4 s, calcule, em hertz, a frequência de rotação:

a) dos pneus dianteiros do trator.

Resposta: 2,5 Hz

b) dos pneus traseiros do trator.

Resposta: 1,25 Hz

6. (Unesp-SP) Um pequeno motor a pilha é utilizado para movimentar um carrinho de brinquedo. Um sistema de engrenagens transforma a velocidade de rotação desse motor na velocidade de rotação adequada às rodas do carrinho. Esse sistema é formado por quatro engrenagens, A , B, C e D , sendo que A está presa ao eixo do motor, B e C estão presas a um segundo eixo e D a um terceiro eixo, no qual também estão presas duas das quatro rodas do carrinho.

Nessas condições, quando o motor girar com frequência f_M, as duas rodas do carrinho girarão com frequência f_R. Sabendo que as engrenagens A e C possuem 8 dentes, que as engrenagens B e D possuem 24 dentes, que não há escorregamento entre elas e que f_M = 13,5 Hz, é correto afirmar que f_R, em Hz, é igual a

a) 1,5.

c) 2,0.

e) 2,5.

7. (UEPG-PR) Uma pessoa está atrasada para pegar o barco que a levará ao centro da cidade e corre a 2 m/s em linha reta, da direita para a esquerda na direção do píer. No trajeto, começa a chover verticalmente sobre ela a uma velocidade de 10 m/s em relação a Terra. Chegando ao píer, a pessoa entra no barco para fazer a travessia do rio que tem 1,5 km de largura. O barco desenvolve uma velocidade de 12 m/s, perpendicularmente à correnteza, a qual atua a 5 m/s. Diante disso, assinale o que for correto.

01) O módulo da velocidade da chuva em relação à pessoa é igual a 10 m/s.

02) O barco não leva 5 minutos para atravessar o rio de uma margem a outra.

04) A distância real percorrida pelo barco na travessia de uma margem a outra do rio foi de 1,5 km.

08) A velocidade do barco em relação a Terra é de 13 m/s. Dê como resposta a soma das alternativas corretas.

Respostas corretas: 02; 08. 02 + 08 = 10

8. (UFPR) - A figura a seguir ilustra um jogador de basquete no momento em que ele faz um arremesso bem-sucedido. A bola, ao ser arremessada, está a uma distância horizontal de 6,0 m da cesta e a uma altura de 2,0 m em relação ao piso. Ela sai das mãos do jogador com uma velocidade de módulo 6√2 m/s fazendo um ângulo de 45° com a horizontal. A cesta está fixada a uma altura de 3,0 m em relação ao piso.

CRÉDITO DAS ILUSTRAÇÕES: Paulo César Pereira

Desprezando a resistência do ar, determine:

a) a altura máxima atingida pela bola em relação ao piso.

Resposta: 3,8 m

b) o intervalo de tempo entre o instante em que a bola sai da mão do jogador e o instante em que ela atinge a cesta.

Resposta: 1,0 s

A HISTÓRIA CONTA

A dimensão dos vetores

LEGENDA: René Descartes, filósofo e matemático francês, obteve grande reconhecimento por sugerir a fusão da Álgebra com a Geometria.

CRÉDITO: Frans Hals. 1649. Óleo sobre tela. Museu do Louvre, Paris

Apesar de na atualidade a Física não poder prescindir do uso dos vetores, o desenvolvimento dessa ferramenta matemática pelos estudiosos é relativamente recente. Só na segunda metade do século XIX é que o termo vetor aparece nos trabalhos dos cientistas.

Podemos dizer que o conceito de vetor está diretamente ligado à questão da dimensão. Sua importância está na capacidade de expressar a dimensão de uma grandeza, por exemplo, a velocidade ou a força. Assim, sobre tal grandeza, o vetor vai dizer "para onde ela vai".

Na história da Matemática e da Ciência em geral, os estudiosos sempre procuraram formas para expressar a dimensão. Nesse sentido, o desenvolvimento dos vetores se assemelha a outras conquistas matemáticas, como a Geometria Analítica e a Geometria Descritiva.

Bem antes do surgimento dos vetores, o filósofo e matemático francês René Descartes, no século XVII, desenvolveu a Geometria Analítica, que permitiu a representação de figuras geométricas em forma de equações. O que antes só podia ser desenhado passou a ser representado por equações com letras e números.

Um pouco mais tarde, no final do século XVIII, Gaspar Monge, outro francês, inventou a Geometria Descritiva, que permite fazer cálculos geométricos no espaço com régua e compasso. A contribuição de Monge foi muito importante para a Engenharia militar de seu país na época de Napoleão, e, posteriormente, essencial para o desenvolvimento das maquinarias em geral.

Voltando aos vetores e ao século XIX, naquele tempo os avanços nas áreas da Física geravam a necessidade de se usar uma ferramenta para a solução dos vários problemas que os cientistas estudavam. Era preciso algo que acompanhasse a evolução que a Ciência apresentava.

LEGENDA: Gravura de René Descartes que determinava geometricamente a posição da formação de imagem na retina do olho humano.

CRÉDITO: Oliver Lodge. 1893. Gravura. Coleção particular. Foto: Sheila Terry/SPL/Latinstock

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Na verdade, no final do século anterior, um norueguês chamado Caspar Wessel já tinha começado a delinear os conceitos de vetor como "linhas dirigidas", assim como o suíço Jean Argand, um pouco mais tarde. Mas os que deram realmente a estrutura para o cálculo vetorial do modo como ele é usado hoje na Física foram o estadunidense Willard Gibbs e, principalmente, o inglês Oliver Heaviside, no final do século XIX. O trabalho de Heaviside com vetores foi escrito em sua obra Teoria eletromagnética. Esses estudos ajudaram a modelar o mundo atual, em virtude da sua contribuição para o desenvolvimento dos dispositivos elétricos, da teoria dos cabos telegráficos, da corrente e dos circuitos elétricos modernos, cujas teorias ele chegou a formular em grande parte.

No entanto, todo o seu trabalho científico foi feito em casa, onde ele se isolava de qualquer contato com o mundo acadêmico. Na verdade, Heaviside era autodidata desde seus 16 anos, ou seja, aprendeu quase tudo por conta própria, sem a companhia sequer de um colega para compartilhar dúvidas e certezas.

Os problemas enfrentados desde a infância fizeram que ele se afastasse do convívio social e se tornasse uma pessoa hostil. Entretanto, a sua importância para a Ciência e contribuição para o estudo dos vetores nos tempos modernos foi fundamental. Hoje, o conceito de vetores é usado em inúmeros aplicativos: está por trás de atividades tão diversas como o design gráfico e os estudos de Linguística, para identificar diferenças na pronúncia de palavras.

LEGENDA: Recurso para medir ângulos, importante para o aprimoramento da Geometria Aplicada.

CRÉDITO: Albrecht Durer. 1532. Xilogravura. Coleção particular. Foto: Middle Temple Library/SPL/Latinstock

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