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ATIvIdAdES

Escreva uma equação do 2º grau na forma reduzida que represente a situação em cada alternativa:

a) o quadrado de um número x, menos 7, é igual a 9.

b) A área de um quadrado de lado medindo x+2é igual a 16.

c) um número y , menos 8, é igual ao quadrado de y.

d) o triplo do quadrado de um número z, menos o triplo desse número, é igual a terça parte de z.

1 .

Solução:

a) x



- 7 = 9

x



- 7 - 9 = 0

x



- 16 = 0

b) (x + 2)



= 16

x



+ 4x + 4 = 16

x



+ 4x + 4 - 16 = 0

x



+ 4x - 12 = 0

c) y - 8 = y

2

-y



+ y - 8 = 0

(-1) ∙ (-y



+ y - 8) = 0 ∙ (-1)

y



- y + 8 = 0

d) 3z



- 3z = z/3

3z



- 3z - z/3 = 0

(3) ∙ (3z



- 3z - z/3) = 0 ∙ (3)

9z



- 9z - z = 0

9z



- 10z = 0

Professor(a), o objetivo das atividades 1 e 2 é trabalhar a relação da linguagem matemática com a

linguagem natural. Trabalhe separadamente, se necessário, o significado de termos matemáticos como:

dobro, triplo, quadrado, metade, terça - parte, etc. Sugere se, caso seja conveniente, trabalhar outros

exemplos.  

Na atividade 2 será utilizado o cálculo de áreas. Aproveite esse momento para relembrar outras fórmulas

além das propostas.

o quadrado e o losango a seguir possuem áreas iguais.

2 .

Escreva uma equação do 2º grau na forma reduzida que represente essa igualdade.

Solução:

( )


6x

(x + 3) ∙ (x - 2)

2

2

8

=

(

(



)

)

9x



x

2

+ x - 6

(16)

2

2

16

=

. (16)

9x² = 8x² + 8x - 48

9x² - 8x² - 8x + 48 = 0

x² - 8x + 48 = 0

( )


3x

(x + 3) ∙ (x - 2)

2

2

4

=

9x

x ² + x - 6

2

2

16

=


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+

Professor(a), as atividades 3 e 4 trabalham com a resolução de equações do 2º grau. Sugere se resolver as

equações da atividade 3 também com o Teorema de Bháskara, para que o aluno perceba que outros

métodos, como a fatoração, podem ser mais práticos.

Solução:

a) 

x² - 49 = 0

x² = 49

x = ±7

S = {-7; 7}

b) 

x² - 7x = 0

x ∙ (x - 7) = 0

x = 0 ou x - 7 = 0

x' = 0 ou x'' = 7

S = {0;7}

c) 

x² - 6x + 9 = 0

(x - 3)² = 0

x - 3 = 0

x = 3

S = {3}

d)

x² - 5x + 6 = 0

(x-2) ∙ (x-3) = 0

x-2 = 0 ou x - 3 = 0

x' = 2 ou x'' = 3

S = {2; 3}

determine as raízes das seguintes equações do 2º grau:

a) x² - 49 = 0

b) x² - 7x = 0

c) x² - 6x + 9 = 0

d) x² - 5x + 6 = 0

3 .

determine as raízes da equação x² - 9x + 20 = 0 utilizando a fórmula resolutiva (Fórmula de bháskara).

4 .

Solução:

x² - 9x + 20 = 0

(a = 1; b = -9 e c = 20)

∆ = b² - 4ac

∆ = (-9)² - 4 ∙ 1 ∙ 20

∆ = 81 - 80

∆ = 1

x = 

-b ±   ∆

2a

x = 

- (-9) ±   1

2 . 1

x = 

9 ± 1



x´ = 

9 + 1





= 5 

10



x´´ = 

S = {4; 5}

9 - 1





= 4

8



observe as leis de formação a seguir:

(I) f(x) = x² + 6x + 8

(II) f(x) = x + 7

(III) f(x) = -5x

(Iv) f(x) = 3x² + 9x

Assinale a alternativa que apresenta as duas leis de formação que se referem a funções polinomiais do

1º grau.

(A) I e II

(b) I e III

(C) II e III

(d) II e Iv

5 .


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+

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Gabarito: C 

Solução: 

f(x) = x² + 6x + 8 → Lei de formação de uma função polinomial do 2º grau.

f(x) = x + 7 → Lei de formação de uma função polinomial do 1º grau.

f(x) = -5x → Lei de formação de uma função polinomial do 1º grau.

f(x) = 3x² + 9x → Lei de formação de uma função polinomial do 2º grau.

Professor(a), aproveite a atividade 5 para trabalhar a identificação dos coeficientes, habilidade importante

para, posteriormente, esboçar o gráfico de uma função.

Considere a função f: r em r definida por f(x) = -5x - 2. o valor numérico dessa função para x = -2 é igual a

(A) -12.

(b) -8.

(C) 8.

(d) 12.

6 .

Gabarito: C 

Solução: 

f(x) = -5x - 2

f(-2) = -5 ∙ (-2) - 2

f(-2) = 10 - 2

f(-2) = 8

Professor(a), na atividade 6 sugere-se trabalhar outros valores de x e colocá-los em uma tabela. Se

for conveniente, trabalhe outros exemplos.

Solução: 

{

-1 = a ∙ (-1)+b



7 = a ∙ 3 + b

Adicionando as duas equações, teremos:

4a = 8 → a = 2

Substituindo em -a + b = -1, teremos -2 + b =-1 → b = 1 + 2 → b = 1

∴ f(x) = 2x + 1 

{

-a + b = -1

3a + b = 7

{

a -b = 1



3a + b = 7

Sabendo que os pontos (-1; –1) e (3; 7) pertencem ao gráfico da função f: r em r definida por f(x) = ax + b,

determine a lei de formação dessa função. 

7 .

Professor(a), nesta atividade 7, o foco é a determinação da lei de formação de uma função polinomial

do 1º grau, mas caso seja conveniente, retome a resolução de sistemas de equações, habilidade

necessária para esse tipo de atividade.


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Aprender +

Chamamos função polinomial do 2º grau (função quadrática) toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c, em

que a é o coeficiente real de x² com a ≠ 0, b é o coeficiente real de x e c é um coeficiente real, também

chamado termo independente.

a) Assinale a alternativa que apresenta uma lei de formação referente a uma função polinomial do 2º grau. 

(    ) f(x) = 2x 

(    ) f(x) = 3x + 7

(    ) f(x) = x² - 5x + 6

(    ) f(x) =|3x + 4|

8 .

Solução:

(    ) f(x) = 2x → Lei de formação de uma função polinomial do 1º grau (função linear).

(    ) f(x) = 3x + 7 → Lei de formação de uma função polinomial do 1º grau (função afim).

( X ) f(x) = x² - 5x + 6 → Lei de formação de uma função polinomial do 2º grau (função quadrática).

(    ) f(x) =|3x + 4| → Lei de formação de uma função modular.

b) determine os coeficientes da lei de formação assinalada anteriormente:

Solução:

a = 1; b = -5 e c = 6

Considere a função f: r  em r definida por  f(x) = x² – 8x + 12.

Seu gráfico intercepta o eixo das abcissas nos pontos

(A) (-6; 0) e (2; 0).

(b) (-6; 0) e (-2; 0).

(C) (6; 0) e (-2; 0).

(d) (6; 0) e (2; 0).

9 .

Gabarito: D

Solução:

f(x) = x² – 8x + 12.

O gráfico da função intercepta o eixo das abscissas

quando y = 0, ou seja, quando x²  –  8x + 12 = 0.

Então:

x²  –  8x + 12 = 0

(x-6) ∙ (x-2) = 0

x-6 = 0 ou x - 2 = 0

x' = 6 ou x” = 2 

Professor(a), as atividades 8 e 9 trabalham a função quadrática de forma gradativa. Sugere-se que

sejam dados outros exemplos seguindo a mesma gradação: identificar a lei de formação, identificar

os coeficiente e depois,  os zeros da função.

(E-32  –  Compreender  o  conceito  de  função  e  em  particular  as  funções  polinomiais  de  primeiro  e

segundo graus).


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(uFrGS – 2007 – Adaptado) A parábola na figura a seguir tem vértice no ponto (–1, 3) e representa a

função f: r  em r definida por f(x) = ax

2

+ bx + c

10 .

Solução:

O gráfico indica dois pontos de coordenadas (-1; 3) e (0; 2). A simetria da

parábola indica mais um ponto,  de coordenadas (-2; 2).

Substituindo essas coordenadas em f(x) = ax



+ bx + c, teremos:

-1

x

2

3

-1

-2

x

2

3

{

3 = a∙(-1)





+ b∙(-1) + c

2 = a ∙ 0



+ b ∙ 0 + c

2 = a ∙ (-2)

2

+ b ∙ (-2) + c

{

3 = a - b + c



2 = c

2 = 4a - 2b + c

determine a lei de formação dessa função.

Substituindo c = 2 na primeira e terceira equação do

sistema, teremos:

{

a - b = 1 → a = 1 + b



4a - 2b = 0

Substituindo b = -2 em a = 1 + b, obtemos a = -1.

∴ f(x) = -x



2

- 2x + 2

Professor(a), nesta atividade 10, será trabalhado a representação gráfica de uma função

quadrática. Sugere se também trabalhar o gráfico a partir da lei de formação, para depois

trabalhar o processo contrário. Reitera se a importância em retomar a resolução de sistemas de

equações nesse momento.

Substituindo a = 1 + b na segunda equação teremos:

4 ∙ (1 + b) - 2b = 0

4 + 4b - 2b = 0

4 + 2b = 0

2b = -4

b = -2


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MATEMÁTiCA

APRESENTANDO A UNiDADE 4

o QUE sABER soBRE EsTA UnidAdE?

Professor (a), você irá trabalhar com atividades relacionadas à expectativa de aprendizagem do nosso currículo:

•  E-33  –  Analisar,  interpretar,  formular  e  resolver  situações-problema  que  envolva  semelhança  e

proporcionalidade.

Para tanto, foram elaboradas itens/atividades que envolverão o conceito de razão e proporção em escalas e

entre segmentos.

QUAis ExPEcTATiVAs dE APREndiZAGEm/dEscRiToREs EsTÃo Em Foco?

É importante observar, professor (a), que as primeiras atividades/itens foram elaboradas com o intuito de identificar

os conhecimentos prévios dos estudantes e as habilidades necessárias para atender a expectativa do descritor.

QUAis As ATiVidAdEs PRoPosTAs?

Professor(a), os itens/atividades 1 e 2 relembram os conceitos de razão e proporção.

nos itens/atividades 3 e 4 os alunos farão uma revisão sobre a proporção em escala e relembram o conteúdo de

proporção entre segmentos.

Já os itens/atividades 5 e 6 abordam o Teorema de Tales aplicado numa situação problema e num triângulo.

o item/atividade 7 propõe aplicar o teorema da bissetriz interna de um triângulos. 

o item/atividade 8 relembra a semelhança de triângulos e os itens/atividades 9 e 10 enfatizam a propriedade

de semelhança entre triângulos.

É imprescindível que você, professor(a), incentive seus estudantes a resolverem as atividades sem a sua ajuda. 

Você ainda pode propor que eles resolvam tais atividades em dupla ou grupo.

É fundamental a correção dos itens/atividades propostos, de forma que engaje e envolva toda a turma. Uma

sugestão seria um momento de discussão e debate entre as duplas ou grupos formados no momento da resolução,

assim poderão ser discutidas diferentes estratégias e situações que possam colaborar/ampliar/sistematizar o

conhecimento dos estudantes. 

Professor(a), lembre-se que o caderno do estudante contempla as expectativas de aprendizagem e alguns

descritores. desta forma, caso identifique alguma lacuna no ensino e/ou aprendizagem do estudante, pesquise

outras situações que trabalhem estas habilidades presentes na unidade.

Boa aula!




Aprender 

+

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MATEMÁTiCA



uNIdAdE 4

conTEúdo: 

• Triângulos 

• Teorema de Tales

Eixo(s) TEmáTico(s): 

• Espaço e Forma

ExPEcTATiVAs dE APREndiZAGEm:

• E-33  –  Analisar,  interpretar,  formular  e  resolver  situações-problema  que  envolvam  semelhança  e

proporcionalidade.

ATIvIdAdES

durante uma aula de física, o professor Alan pediu aos seus alunos que enchessem um recipiente retangular

com água e colocassem no congelador. observe a seguir, a representação com as dimensões do recipiente:

Após o congelamento da água, o valor da massa foi de

1008 gramas. Sabendo que a densidade de um corpo é

igual  a  razão  entre  a  massa  e  o  volume,  e  que  a

densidade do gelo é de 0,9g/cm³, determine a largura

do recipiente utilizado nessa experiência.

1 .

32 cm

10 cm

x cm

Solução:

Denotando o volume do recipiente por V, teremos V = 32 ∙ 10 ∙ x = 320x

Sabemos que a massa é de 1008 gramas, e que a densidade do gelo é de 0,9g/cm³. Assim, teremos:

0,9 =

→ 0,9 ∙ 320x = 1008 → 288x = 1008 → x =

→ x = 3,5 cm

1008

320x

1008

288

observe o desenho da bandeira do Estado de Goiás a seguir e suas dimensões:

o desenho acima será ampliado para a confecção

de cartazes com 72 cm de altura. A largura dos

cartazes será de

(A) 96 cm.

(b) 108 cm.

(C) 120 cm.

(d) 132 cm.

2 .



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Aprender 

+

Gabarito: C

Solução: Como se trata de uma ampliação, as medidas devem ser proporcionais. Assim, denotando a largura do

cartaz ampliado por x, teremos:

Professor(a), o objetivo desse item é relembrar o conceito de proporção.

6

10

=

→ 6x = 720 → x = 

→ x = 120 cm

72

x

720

6

observe o mapa a seguir construído na escala 1: 15 000 000.

Considerando  que  a  distância  no  mapa  entre  as  cidades  de

Goiânia  e  Piracanjuba  é  de  0,5  cm,  a  distância  real  entre  as

cidades é de aproximadamente

(A) 50 km.

(b) 75 km.

(C) 100 km.

(d) 125 km.

3 .

Gabarito: B

Solução:

Professor(a), o objetivo desse item é retomar proporção e escala.

1

15 000 000

=

→ x = 7 500 000 cm = 75 km

0,5

x

os segmentos Ab, Cd, EF e GH, formam nesta ordem uma proporção. Se Cd = 5cm, GH = 7cm e Ab + EF =

84 cm, quais os valores de Ab e EF ?

4 .

Solução:

Denotando a medida de EF por x, teremos  AB = 84 - x, então :

AB

=





→ 5x = 7(84 - x) → 5x = 588 - 7x → 5x + 7x = 588 → 12x = 588 → x = 49 cm

CD

Professor(a), o objetivo dessa atividade é retomar o conceito de proporção entre segmentos.

EF

GH

X

7

84 - X

5


Aprender 

+

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(uFSM - 03) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na

geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. uma alternativa encontrada por uma

fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa

próximo às suas instalações. observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas,

pode-se afirmar que a barreira mede 

5 .

(A) 33

(b) 38

(C) 43

(d) 48

Professor(a), o objetivo desse item é revisar o Teorema de Tales.

Gabarito: B

Solução: 

24

30

=

=

→ x + 32 =

→ x + 32 = 70 → x = 38 m



24

30

56

30 + X + 2

56

X + 32

1680

24

No triângulo AbC a seguir, o segmento dE é paralelo ao segmento bC. determine o valor de aplicando

a proporcionalidade entre segmentos paralelos cortados por segmentos transversais. 

6 .

Professor(a), o objetivo dessa atividade é aplicar o teorema de Tales em triângulos.

Solução: 

2a + 6

2a - 2

2

A

E

C

b

d

2a - 2

=

→ → 3(2a - 2) = 2(2a + 6) = 6a - 6 = 4a + 12 → 6a - 4a = 12 + 6 → 2a = 18 → a = 9

2

2a + 6

3


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Aprender 

+

determine o valor de x no triângulo abaixo sabendo que AP é bissetriz do ângulo A

7 .

Solução: Pelo teorema da bissetriz interna, teremos que:

8

=

→ 10x = 8(16 - x) → 10x = 128 - 8x → 18x = 128  → 

≅ 7,1 cm 



x

10

16 - x

Professor(a), o objetivo dessa atividade é aplicar o teorema da bissetriz interna de triângulos.

verifique se os triângulos AbC e dEF a seguir são semelhantes:

8 .

Solução: ∆ABC ≈ ∆DEF, pois        =       =         ∙

3

6

Professor(a), o objetivo dessa atividade é de relembrar a semelhança de triângulos.

4

8

5

10

Em um dia de tráfico intenso, não foi possível ao funcionário da Agetop (Agência Goiana de Transportes

e obras) medir a largura de um certo trecho da rodovia Go-469 que liga a cidade de Goianira a cidade de

Trindade, cujos meios-fios são retas paralelas. Contudo, utilizando seus conhecimentos geométricos, o

funcionário mediu alguns trechos de um lado da rodovia e fez o seguinte esboço em um papel:

9 .


Aprender +

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Com essas medidas, foi possível ao funcionário encontrar que a largura era de

(A) 12,8 m.

(b) 13,5 m.

(C) 14,6 m.

(d) 15,2 m.

Gabarito: A

Solução:

Denotando a largura da pista por x, teremos:

Professor(a), o objetivo desse item é para o estudante aplicar a propriedade de semelhança de triângulos.

x

=

→ 5x = 64 → x =

→ x = 12,8

4

16

5

64

5

A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No momento, a seu lado, a sombra

projetada de um poste mede 2 m. Calcule a medida da altura do poste:

10 .

Solução:

Professor(a), o objetivo dessa atividade é para o estudante aplicar a propriedade de semelhança de

triângulos.

1,8 m

=

=

→ 60x = 200 ∙ 180 → x =

→ x = 200 ∙ 3 → x = 600 cm = 6 m



x

60 cm

2m

60 cm

200 cm

200 . 180

60

180 cm

x


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MATEMÁTiCA

APRESENTANDO A UNiDADE 5

o QUE sABER soBRE EsTA UnidAdE?

nesta unidade os estudantes trabalharão o conhecimento sobre plano cartesiano, círculo e circunferência.

As habilidades concernentes a estes conhecimentos serão exploradas de forma que os estudantes possam

expressar o quanto eles já têm assimilados. 

As atividades foram elaboradas, tendo por base as expectativas de aprendizagem, seguindo uma gradação

de complexidade. Por elas, pretende-se alcançar o desenvolvimento das habilidades dos estudantes em utilizar

o teorema de Pitágoras e determinar a distância entre dois pontos. As propriedades do círculo e circunferência

serão abordadas em atividades com cálculo de medida de área e comprimento. As medidas do apótema de um

polígono regular serão trabalhadas por meio de um polígono inscrito em uma circunferência. 

outras habilidades abordadas estão relacionadas às atividades com relações métricas da circunferência nas

quais, poderão ser resgatados os conhecimentos sobre corda, diâmetro e raio.

QUAis ExPEcTATiVAs dE APREndiZAGEm/dEscRiToREs EsTÃo Em Foco?

Esta unidade tem por base as seguintes expectativas de aprendizagem:

• escrever a fórmula da distância entre dois pontos e a equação da circunferência no plano cartesiano,

fazendo uso do teorema de Pitágoras.

• resolver problemas que envolvem circunferência e círculo.

• calcular as medidas do lado e do apótema de um polígono regular inscrito em uma circunferência.

• reconhecer a importância das relações métricas na circunferência e suas aplicações. As atividades

permitirão o desenvolvimento das habilidades presentes em cada expectativa a serem trabalhadas, assim,

pretende-se que os estudantes, por meio do teorema de Pitágoras, possam chegar à medida da distância

entre  dois  pontos.  outro  aspecto  importante  é  a  solução  de  situações-problema  que  envolvem  a

circunferência,  como  o  cálculo  do  apótema  de  um  polígono  e  atividades  que  apresentam  as  relações

métricas.  Em  todos  esses  casos  podem-se  resgatar  conhecimentos  como  os  elementos  de  uma

circunferência; diferença entre círculo e circunferência, entre outros.

QUAis As ATiVidAdEs PRoPosTAs?

Professor(a) as atividades que aqui estão propostas, são apenas um direcionador de seu trabalho. se achar

necessário, acrescente novas atividades e trabalhos. As atividades 1 e 2 possibilitam verificar se os estudantes

desenvolveram a habilidade em chegar à fórmula para se calcular a distância entre dois pontos a partir do teorema

de Pitágoras. Elas exigem o conhecimento do plano cartesiano e a capacidade dos estudantes de, partindo apenas

das coordenadas, obterem o resultado. nas atividades 3 e 4 possibilitam verificar se os estudantes desenvolveram

a habilidade em resolver situação problemas que envolvem circunferência e círculo. Em ambas as atividades o

teorema de Pitágoras será utilizado nas resoluções. Pode-se, nesse momento, resgatar alguns conhecimentos como

fatoração  com  números  primos,  multiplicação  de  números  decimais,  cálculo  do  comprimento  de  uma

circunferência, entre outros. As atividades 5 e 6 possibilitam verificar se os estudantes desenvolveram a habilidade

em compreender e calcular o apótema de um polígono inscrito em uma circunferência. observe que nas atividades,

utilizam-se o conhecimento sobre o cálculo do apótema, mas estes também resgatam outros conceitos como o

cálculo do comprimento de uma circunferência.  As atividades de 7 a 10 possibilitam verificar se os estudantes

desenvolveram a habilidade em reconhecer a importância das relações métricas na circunferência. Esteja atento

às dificuldades que os estudantes possam apresentar e resgate alguns conhecimentos, tais como: elementos de

uma circunferência; diferença entre círculo e circunferência, dentre outros.

Professor(a), lembre-se que o caderno dos estudantes contemplam as expectativas de aprendizagem e alguns

descritores.  desta  forma,  caso  identifiquem  alguma  lacuna  no  ensino  e/ou  aprendizagem  dos  estudantes,

pesquisem outras situações que trabalhem estas habilidades presentes na unidade.   

Boa aula!



Aprender +

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MATEMÁTiCA



uNIdAdE 5

conTEúdo: 

• Polígonos, circunferência e círculo.

Eixo(s) TEmáTico(s): 

• Espaço e forma;

• Grandezas e medidas.

ExPEcTATiVAs dE APREndiZAGEm:

• E-34 – Escrever a fórmula da distância entre dois pontos e a equação da circunferência no plano cartesiano,

fazendo uso do teorema de Pitágoras;

• E-35 – Resolver problemas que envolvem circunferência e círculo;

• E-36 – calcular as medidas do lado e do apótema de um polígono regular inscrito em uma circunferência;

• E-37 – Reconhecer a importância das relações métricas na circunferência e suas aplicações.



ATIvIdAdES

os pontos P, q e r, dispostos no plano cartesiano a seguir, formam um triângulo retângulo em r.

1 .

utilizando o teorema de Pitágoras, determine a distância entre

os pontos P e q. 

Solução

Professor(a), as atividades 1 e 2 possibilitam verificar se os

estudantes  desenvolveram  a  habilidade  em  chegar  na

fórmula para se calcular a distância entre dois pontos a



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